Некоторые задания:
1. Найдите корень уравнения log3 (12 − x ) = 3log3 4 .
2. В среднем из 75 морозильников, поступивших в продажу, 6 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля морозильник не имеет дефекта.
3. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 56, вписана окружность, AB =12. Найдите длину стороны CD
4. Найдите значение выражения log 2,5 3⋅ log3 0,064 .
5. Шар, объём которого равен 29π , вписан в куб. Найдите объём куба.
6. На рисунке изображён график функции y = f ‘ ( x ) — производной функции f ( x ), определённой на интервале (−3; 8) . В какой точке отрезка [−2; 3] функция f ( x ) принимает наименьшее значение?
7. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: ( ) 2 T t = T0 + bt + at , где t — время в минутах, T0 =1300 К, a = −14 К/мин2 , b =154 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
8. Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 4 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 1 час 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
10. По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А вовремя, равна 0,84. Вероятность того, что товар доставят вовремя из магазина Б, равна 0,9. Пётр Петрович заказал товары одновременно в двух магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар вовремя.
13. Радиус основания конуса равен 8, высота равна 4. Сечение конуса плоскостью α , проходящей через его вершину, отсекает от окружности основания дугу в 60° .
а) Докажите, что величина угла между плоскостью α и плоскостью основания конуса равна 30° .
б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
15. 15 августа планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца ( r —целое число);
—со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, ч то о бщая с умма д енег, которую н ужно в ыплатить б анку з а в есь срок кредитования, на 51 % больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r .
16. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC , причём AD = 2BC .
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если AB =13 и BC =10 .
