Некоторые задания:
1. В треугольнике ABC угол C равен 32° , AD — биссектриса, угол BAD равен 23° . Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D , A1, B1, D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA B C D 111 1 , у которого AB = 2 , AD = 9 , 1 AA = 5.
3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из России и 10 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из России.
4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
5. Два тела, массой m =10 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 6 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле 2 2 Q mv = α sin , где m — масса в килограммах, v — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 90 джоулей.
6. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 13 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D 111 1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB =13, BC = 5, 1 AA =12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку 1 D .
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро 1 1
